前置知识:Tarjan算法 详见此文

参考文章:
1. 博客园 2-SAT 知识小结
2. 洛谷 2-SAT学习笔记

思路:

  1. 我们将一个元素拆成两个点表示bool元素的两种情况,有向边表示若起点成立,则终点一定成立。

  2. 当拆点建图后,如果一个元素拆出的两个点u,v。存在有向图上的路径u->v,则代表点u可以推出点v,点u非法,则点v合法。

  3. 有向无环图的情况下,合法点的拓扑序比非法点大。

  4. Tarjan后,同一元素拆成的两个点中强连通分量编号小的点是合法点。

  5. 如果一个元素拆成的两个点在同一个强连通分量,则整个序列无解。

  6. 如果一个元素拆成的两个点之间没有任何路径相连,即使是有向路径,那么这两点都可以成为合法点,这两点的分量编号不同,选小的即可。

洛谷 P4782 【模板】2-SAT 问题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e6+10; // 记得开两倍
int n,m,ans[N];
int dfn[N],low[N],tim;
int scc[N],cnt;
vector<int>g[N];
stack<int>s;
void dfs(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++tim;
    s.push(u);
    int sz=g[u].size();
    for(int i=0;i<sz;i++)
    {
        int v=g[u][i];
        if(!dfn[v])
        {
            dfs(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(!scc[v])
        {
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);
        }
    }
    if(low[u]==dfn[u])
    {
        cnt++;
        while(1)
        {
            int x=s.top();s.pop();
            scc[x]=cnt;
            if(x==u)break;
        }
    }
}
void tarjan()
{
    for(int i=1;i<=2*n;i++)
        if(!dfn[i])dfs(i);
}
int f(int i,int w) // 第i个数,取值为w,返回在图中的对应编号
{
    if(w==1)return i;
    return i+n;
}
bool judge()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(scc[i]==scc[i+n])return 0;
        ans[i]=(scc[i]<scc[i+n]?1:0);
    }
    return 1;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    int pos1,pos2,w1,w2;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>pos1>>w1>>pos2>>w2;
        if(pos1!=pos2)
        {
            int x1=f(pos1,w1);  // x1在图中的编号
            int nx1=f(pos1,w1^1); // 非x1
            int x2=f(pos2,w2); // x2
            int nx2=f(pos2,w2^1); // 非x2
            g[nx1].push_back(x2); // 非x1->x2
            g[nx2].push_back(x1); // 非x2->x1
        }
        else // pos1==pos2
        {
            if(w1!=w2)continue; // x=0或x=1,不必连边判断,因为一定成立
            else // w1==w2
            {
                int x0=f(pos1,0);
                int x1=f(pos1,1);
                if(w1==1) // x=0->x=1,使得x=1成立
                // 因为这样x=1的拓扑序大,scc编号小,拆成的两个点中就会选x=1作为合法点
                {
                    g[x0].push_back(x1);
                }
                else // x=1->x=0,使得x=0一定成立
                {
                    g[x1].push_back(x0);
                }
            }
        }
    }
    tarjan();
    if(!judge())printf("IMPOSSIBLE\n");
    else
    {
        printf("POSSIBLE\n");
        for(int i=1;i<=n;i++)
            i==n?printf("%d\n",ans[i]):printf("%d ",ans[i]);
    }
    return 0;
}